Il teorema di don masino
Nel cassetto del comò accanto al letto ci sono tre calzini bianchi e uno blu orfano del gemello rimasto in fondo alla cesta dei panni sporchi. Per non svegliare nessuno apro delicatamente il cassetto, quanto basta per infilare una mano ed estrarre due calzini uno dopo l’altro. Nel dormiveglia penso a quante possibilità ho di prenderne due dello stesso colore. Vediamo: 3 su 4 che il primo calzino sia bianco e 2 su 3 che sarà bianco pure il secondo. Moltiplicando tra loro queste due frazioni o probabilità ottengo ½. Mi vesto lentamente al buio conscio del fatto di avere una possibilità su due di andare al lavoro con un calzino bianco ed uno blu!
Ogni giorno siamo alle prese con la probabilità che un evento si verifichi dato che un altro evento si è verificato per decidere cosa dire, come fare, dove andare, quando partire. Tuttavia, fare bene i calcoli, che poi equivale a porsi la domanda giusta, a volte è obiettivamente difficile. Calzini a parte, di questi tempi sarebbe utile conoscere quante possibilità ho di avere effettivamente il Covid se ho fatto il tampone e sono risultato positivo. Il farmacista mi rassicura sull’accuratezza del test rapido dicendo che più o meno un individuo negativo ogni 1.000 può ricevere un falso risultato positivo. La risposta mi lascia un po’ interdetto, c’è qualcosa che non mi torna. Per capirci qualcosa bisogna scomodare il matematico inglese Reverendo Thomas Bayes, affettuosamente Don Masino per i fans di queste latitudini, vissuto nel XVIII secolo e autore di un famoso teorema che porta il suo nome. Pare che il problema stia nell’inversione logica del numeratore con il denominatore, cioè dell’evento condizionato con quello condizionante: nel caso specifico, la probabilità che il tampone sia positivo se ho il Covid (la risposta del farmacista) con la probabilità di avere il virus se il tampone è positivo (la mia domanda). Se il test sbaglia in media 1 volta su 1.000 non vuol dire che se è positivo allora al 99,9% ho il Covid. Se, in media, su 100 donne 3 sono incinte non vuol dire che su 100 persone incinte in media 3 sono donne (l’inversione varrebbe solo in casi eccezionali come, ad esempio, tra le partecipanti ad un corso pre-parto)! Immagino con poco sforzo di vivere in un paese di circa 5.000 abitanti dove solo 5 individui hanno effettivamente il Covid. Nonostante il test sia molto accurato, dopo uno screening di massa è possibile che almeno un individuo riceva un falso risultato positivo. Quindi, in uno scenario simile con così pochi casi, le possibilità che io abbia effettivamente il Covid se il mio tampone è positivo non sono 999 su 1.000 ma al massimo 5 su 6 (83%)! Se, però, i contagi in paese fossero stati 50 (1 ogni 100 abitanti anziché 1 ogni 1.000), un tampone positivo avrebbe segnalato correttamente la presenza del virus circa 50 volte su 51 (98%) e via salendo. Per quanto forse poco realistico, l’esempio svela che la risposta corretta alla mia domanda dipende da quanto è diffuso il virus e conferma quanto sia facile confondersi.
A volte invertire numeratore e denominatore può avere conseguenze tragiche come nel caso di Sally Clark, madre di due neonati morti a distanza di due anni l’uno dall’altro di sindrome della morte in culla (SIDS in inglese). Un mese dopo la morte del secondogenito, Sally fu accusata di (duplice) infanticidio essendo l’unica persona presente in casa al momento dei fatti. Poiché la SIDS è piuttosto rara, la corte diede credito alla tesi dell’accusa secondo cui le possibilità che due eventi del genere potessero verificarsi accidentalmente nella stessa famiglia era così remota da costituire prova sufficiente di colpevolezza. Il giudice scambiò l’improbabilità della doppia fatalità per improbabilità di innocenza. È bene ribadire il concetto: se l’ eventualità di osservare due decessi simili in una famiglia benestante come quella dei piccoli è statisticamente molto bassa, non ne consegue che la probabilità che la madre fosse innocente sia altrettanto bassa. Sally Clark fu condannata a due ergastoli e trascorse tre anni in carcere finché la sentenza fu ribaltata in appello quando la corte tenne conto anche dell’improbabilità del doppio infanticidio, evento ritenuto ancora più raro per una madre a cui carico non erano emersi altri chiari indizi di colpevolezza durante le indagini. Sally fu scagionata e rimessa in libertà ma non sopravvisse a lungo a quello che sarà ricordato come uno dei più spettacolari casi di malagiustizia mai verificatisi in Inghilterra.
Quando prendiamo decisioni o esprimiamo giudizi, tipicamente filtriamo i fatti attraverso la nostra esperienza, istinto, pregiudizi. Il teorema riconosce che, anche quando i dati parlano chiaro, l’impatto che essi hanno sulle nostre opinioni dipenderà da quanto queste sono radicate dentro di noi. Se la torta è sparita dal frigo e mia sorella dice che non ne sa nulla ma ha la bocca sporca di cioccolata, allora dovrò arrendermi all’ evidenza che sta mentendo nonostante non si fosse mai pappata la mia fetta di torta prima d’ora. Si tratta, dopotutto, di una regola di comune buonsenso, oltre che della quintessenza del metodo scientifico: prima di cambiare opinione o stile di vita, ad esempio accettando una teoria rivoluzionaria o adottando una nuova tecnologia è buona norma pretendere prove convincenti della loro validità.
Ma forse il messaggio più profondo racchiuso nel teorema è che per avvicinarsi alla verità occorre una certa disponibilità a rivedere le proprie convinzioni quando l’ evidenza dei fatti le contraddice. Ne basta una dose minima per convergere prima o poi verso la verità, ma se tale predisposizione è assente allora non c’è speranza. Ad esempio, chi fino a ieri aveva una posizione un po’ scettica sui vaccini o sul cambiamento climatico, oramai dovrebbe incominciare a sospettare che vaccinarsi conviene e che esiste un problema di riscaldamento globale del pianeta legato alle nostre emissioni. Ma per chi continua a sostenere che la pandemia o l’emergenza climatica siano frutto di un megacomplotto internazionale che coinvolge governi, case farmaceutiche e lobby ambientaliste con l’intento di limitare le nostre libertà, non c’è evidenza che tenga. Il teorema diventa allora la spiegazione matematica di una mente chiusa: un numero, per quanto grande, moltiplicato per zero è sempre zero, direbbe Don Masino.☺
