Nel precedente articolo apparso sul numero di settembre della rivista, dedicato ai numeri di Fibonacci e alla sezione aurea, abbiamo provato ad avventurarci nel mondo della matematica, con l'intento di presentare la stessa non come l'arida materia appresa a scuola, ma come il linguaggio attraverso cui l'universo esprime la propria bellezza. Proseguendo in questa avventura, accenneremo ai cosiddetti “quadrati magici”, mostrando che negli stessi in realtà non vi è nulla di magico o di esoterico, ma che essi sono un’affascinante sfida alla nostra intelligenza, ai confini tra il gioco e la matematica.
Un quadrato magico è una configurazione di numeri interi positivi, diversi fra di loro, disposti in una tabella quadrata, in modo tale che la somma degli elementi di ogni riga, di ogni colonna e di entrambe le diagonali abbia sempre lo stesso valore, denominato costante magica o somma magica del quadrato.
I quadrati magici erano già noti in Cina nel IV secolo a.C. Il quadrato costruito con i primi 9 numeri naturali (detto di ordine 3 perché forma un quadrato di lato 3) era chiamato Lu Shu e considerato una rappresentazione matematica misteriosa e sacra dell'Universo. Ne possiamo vedere in questa pagina una schematica rappresentazione, dalla quale emergono alcune proprietà aritmetiche. La somma costante di questo quadrato è 15. Il numero centrale, il 5, è la media aritmetica di tutte le coppie di numeri opposti: 1 e 9, 6 e 4, 7 e 3, 2 e 8. Se si moltiplica il numero centrale 5 per l'ordine del quadrato, cioè 3, si ottiene il valore della somma costante, 15. E sempre il numero centrale moltiplicato per l'ordine elevato al quadrato, cioè 9, è uguale alla somma totale dei numeri che compongono il quadrato: 5 x 9 = 45.
In Europa, durante il Rinascimento, i quadrati magici suscitarono grande interesse. Uno tra i più noti è sicuramente quello che compare nell'incisione di Albrecht Durer intitolata Melancholia I. Come si può vedere nell'immagine, si tratta di un quadrato magico di ordine 4, la cui somma costante è 34. E si noti come anche la somma dei quattro numeri centrali e la somma dei quattro numeri agli spigoli sia sempre 34. Inoltre, i quattro quadratini agli angoli hanno ancora come somma 34. L'artista ha fatto anche in modo che le cifre nelle caselle centrali in basso formino il numero 1514, l'anno in cui venne fatta l'incisione.
E un quadrato 5 x 5, costruito con i primi 25 numeri? Proviamo a realizzarne uno dei tanti possibili seguendo questo semplice metodo. Si inizia mettendo 1 nella colonna centrale della riga superiore. Si continua sistemando i numeri successivi sempre nella colonna più a destra e nella riga più in alto. Se ci si trova già alla riga superiore, si compila sempre la colonna alla destra nella riga inferiore. Se ci si trova nella colonna di estrema destra, si inserisce il numero seguente nella colonna di estrema sinistra, una riga più in alto. Se il posto è già occupato da un numero più piccolo, si posiziona il numero seguente nel posto immediatamente sotto all'ultimo inserito. Si procede fino a comporre tutto il quadrato, che avrà l'aspetto di quello qui rappresentato ed avrà come somma costante il valore 65. Tale quadrato presenta anche un'altra proprietà: la somma dei numeri esterni delle diagonali e di quello di centro come anche la somma dei numeri interni delle diagonali e di quello di centro è ancora una volta 65. Infatti avremo 9+11+17 +15+13=65 e 21 +12 +5 +14 +13=65.
Lasciando al lettore interessato l'approfondimento sull'evoluzione storica e sulle attuali conquiste della ricerca matematica in questo campo, ci piace segnalare che il celebre Benjamin Franklin costruì e pubblicò nel 1767 il quadrato magico 8 x 8, la cui somma costante è 260, rappresentato in questa pagina.
Nei secoli passati ai quadrati magici sono stati attribuiti significati mistici e religiosi, facoltà terapeutiche o virtù cabalistiche, ma a noi piace considerarli giochi matematici utili a mettere alla prova la nostra intelligenza, sperando che la stessa intelligenza faccia nascere un sincero interesse per la scienza e ci tenga lontani da superstizioni, amuleti e talismani. ☺
domenico.dicienzo@tin.it
Nel precedente articolo apparso sul numero di settembre della rivista, dedicato ai numeri di Fibonacci e alla sezione aurea, abbiamo provato ad avventurarci nel mondo della matematica, con l'intento di presentare la stessa non come l'arida materia appresa a scuola, ma come il linguaggio attraverso cui l'universo esprime la propria bellezza. Proseguendo in questa avventura, accenneremo ai cosiddetti “quadrati magici”, mostrando che negli stessi in realtà non vi è nulla di magico o di esoterico, ma che essi sono un’affascinante sfida alla nostra intelligenza, ai confini tra il gioco e la matematica.
Un quadrato magico è una configurazione di numeri interi positivi, diversi fra di loro, disposti in una tabella quadrata, in modo tale che la somma degli elementi di ogni riga, di ogni colonna e di entrambe le diagonali abbia sempre lo stesso valore, denominato costante magica o somma magica del quadrato.
I quadrati magici erano già noti in Cina nel IV secolo a.C. Il quadrato costruito con i primi 9 numeri naturali (detto di ordine 3 perché forma un quadrato di lato 3) era chiamato Lu Shu e considerato una rappresentazione matematica misteriosa e sacra dell'Universo. Ne possiamo vedere in questa pagina una schematica rappresentazione, dalla quale emergono alcune proprietà aritmetiche. La somma costante di questo quadrato è 15. Il numero centrale, il 5, è la media aritmetica di tutte le coppie di numeri opposti: 1 e 9, 6 e 4, 7 e 3, 2 e 8. Se si moltiplica il numero centrale 5 per l'ordine del quadrato, cioè 3, si ottiene il valore della somma costante, 15. E sempre il numero centrale moltiplicato per l'ordine elevato al quadrato, cioè 9, è uguale alla somma totale dei numeri che compongono il quadrato: 5 x 9 = 45.
In Europa, durante il Rinascimento, i quadrati magici suscitarono grande interesse. Uno tra i più noti è sicuramente quello che compare nell'incisione di Albrecht Durer intitolata Melancholia I. Come si può vedere nell'immagine, si tratta di un quadrato magico di ordine 4, la cui somma costante è 34. E si noti come anche la somma dei quattro numeri centrali e la somma dei quattro numeri agli spigoli sia sempre 34. Inoltre, i quattro quadratini agli angoli hanno ancora come somma 34. L'artista ha fatto anche in modo che le cifre nelle caselle centrali in basso formino il numero 1514, l'anno in cui venne fatta l'incisione.
E un quadrato 5 x 5, costruito con i primi 25 numeri? Proviamo a realizzarne uno dei tanti possibili seguendo questo semplice metodo. Si inizia mettendo 1 nella colonna centrale della riga superiore. Si continua sistemando i numeri successivi sempre nella colonna più a destra e nella riga più in alto. Se ci si trova già alla riga superiore, si compila sempre la colonna alla destra nella riga inferiore. Se ci si trova nella colonna di estrema destra, si inserisce il numero seguente nella colonna di estrema sinistra, una riga più in alto. Se il posto è già occupato da un numero più piccolo, si posiziona il numero seguente nel posto immediatamente sotto all'ultimo inserito. Si procede fino a comporre tutto il quadrato, che avrà l'aspetto di quello qui rappresentato ed avrà come somma costante il valore 65. Tale quadrato presenta anche un'altra proprietà: la somma dei numeri esterni delle diagonali e di quello di centro come anche la somma dei numeri interni delle diagonali e di quello di centro è ancora una volta 65. Infatti avremo 9+11+17 +15+13=65 e 21 +12 +5 +14 +13=65.
Lasciando al lettore interessato l'approfondimento sull'evoluzione storica e sulle attuali conquiste della ricerca matematica in questo campo, ci piace segnalare che il celebre Benjamin Franklin costruì e pubblicò nel 1767 il quadrato magico 8 x 8, la cui somma costante è 260, rappresentato in questa pagina.
Nei secoli passati ai quadrati magici sono stati attribuiti significati mistici e religiosi, facoltà terapeutiche o virtù cabalistiche, ma a noi piace considerarli giochi matematici utili a mettere alla prova la nostra intelligenza, sperando che la stessa intelligenza faccia nascere un sincero interesse per la scienza e ci tenga lontani da superstizioni, amuleti e talismani. ☺
Nel precedente articolo apparso sul numero di settembre della rivista, dedicato ai numeri di Fibonacci e alla sezione aurea, abbiamo provato ad avventurarci nel mondo della matematica, con l'intento di presentare la stessa non come l'arida materia appresa a scuola, ma come il linguaggio attraverso cui l'universo esprime la propria bellezza. Proseguendo in questa avventura, accenneremo ai cosiddetti “quadrati magici”, mostrando che negli stessi in realtà non vi è nulla di magico o di esoterico, ma che essi sono un’affascinante sfida alla nostra intelligenza, ai confini tra il gioco e la matematica.
Un quadrato magico è una configurazione di numeri interi positivi, diversi fra di loro, disposti in una tabella quadrata, in modo tale che la somma degli elementi di ogni riga, di ogni colonna e di entrambe le diagonali abbia sempre lo stesso valore, denominato costante magica o somma magica del quadrato.
I quadrati magici erano già noti in Cina nel IV secolo a.C. Il quadrato costruito con i primi 9 numeri naturali (detto di ordine 3 perché forma un quadrato di lato 3) era chiamato Lu Shu e considerato una rappresentazione matematica misteriosa e sacra dell'Universo. Ne possiamo vedere in questa pagina una schematica rappresentazione, dalla quale emergono alcune proprietà aritmetiche. La somma costante di questo quadrato è 15. Il numero centrale, il 5, è la media aritmetica di tutte le coppie di numeri opposti: 1 e 9, 6 e 4, 7 e 3, 2 e 8. Se si moltiplica il numero centrale 5 per l'ordine del quadrato, cioè 3, si ottiene il valore della somma costante, 15. E sempre il numero centrale moltiplicato per l'ordine elevato al quadrato, cioè 9, è uguale alla somma totale dei numeri che compongono il quadrato: 5 x 9 = 45.
In Europa, durante il Rinascimento, i quadrati magici suscitarono grande interesse. Uno tra i più noti è sicuramente quello che compare nell'incisione di Albrecht Durer intitolata Melancholia I. Come si può vedere nell'immagine, si tratta di un quadrato magico di ordine 4, la cui somma costante è 34. E si noti come anche la somma dei quattro numeri centrali e la somma dei quattro numeri agli spigoli sia sempre 34. Inoltre, i quattro quadratini agli angoli hanno ancora come somma 34. L'artista ha fatto anche in modo che le cifre nelle caselle centrali in basso formino il numero 1514, l'anno in cui venne fatta l'incisione.
E un quadrato 5 x 5, costruito con i primi 25 numeri? Proviamo a realizzarne uno dei tanti possibili seguendo questo semplice metodo. Si inizia mettendo 1 nella colonna centrale della riga superiore. Si continua sistemando i numeri successivi sempre nella colonna più a destra e nella riga più in alto. Se ci si trova già alla riga superiore, si compila sempre la colonna alla destra nella riga inferiore. Se ci si trova nella colonna di estrema destra, si inserisce il numero seguente nella colonna di estrema sinistra, una riga più in alto. Se il posto è già occupato da un numero più piccolo, si posiziona il numero seguente nel posto immediatamente sotto all'ultimo inserito. Si procede fino a comporre tutto il quadrato, che avrà l'aspetto di quello qui rappresentato ed avrà come somma costante il valore 65. Tale quadrato presenta anche un'altra proprietà: la somma dei numeri esterni delle diagonali e di quello di centro come anche la somma dei numeri interni delle diagonali e di quello di centro è ancora una volta 65. Infatti avremo 9+11+17 +15+13=65 e 21 +12 +5 +14 +13=65.
Lasciando al lettore interessato l'approfondimento sull'evoluzione storica e sulle attuali conquiste della ricerca matematica in questo campo, ci piace segnalare che il celebre Benjamin Franklin costruì e pubblicò nel 1767 il quadrato magico 8 x 8, la cui somma costante è 260, rappresentato in questa pagina.
Nei secoli passati ai quadrati magici sono stati attribuiti significati mistici e religiosi, facoltà terapeutiche o virtù cabalistiche, ma a noi piace considerarli giochi matematici utili a mettere alla prova la nostra intelligenza, sperando che la stessa intelligenza faccia nascere un sincero interesse per la scienza e ci tenga lontani da superstizioni, amuleti e talismani. ☺
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